sábado, 30 de julio de 2016

1458 - Variante de un puzzle

Carlos Rivera publicó en su siempre interesante site Prime Puzzles el siguiente problema de Jean Brette : colocar en un grilla de 3x3 números primos tal que las diferencias entre dos números contiguos sean todas diferentes. (se consideran 18 diferencias ya que se toman como contiguos los números de los extremos, tanto los horizontales como los verticales).

Una solución que yo encontré es la siguiente :

 

 Basado en este problema se me ocurrió el siguiente : 
¿Es posible colocar en una grilla de 3x3 números comprendidos entre 1 y 27 tal que considerando los números colocados y sus 18 diferencias obtengamos todos los números entre 1 y 27?

Encontrar una solución o demostrar que es imposible.
A modo de ejemplo les pongo una grilla que yo encontré que solo repite dos números:

Como verán se repiten el 3 y el 12 y faltan el 9 y el 24 

Actualización: Carlos Feinstein me manda la siguiente solución:


Actualización II: Dmitry Kamenetsky mandó a traves de Carlos Rivera además de la solución de Carlos Feinstein otrs dos para grillas de 3x3, y soluciones para n=4 y n=5






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5 comentarios:

  1. Por ahí entendí mal el problema, pero la distribución:
    13 1 21
    27 25 10
    4 7 26
    Parecería cumplir con los requesitos, no?

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  3. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

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  4. Yo mandé esto ayer, pero parece que no llegó:
    Seguí con n=3 y estuve tratando de encontrar alguna otra solución del problema y me topé con algo muy obvio, pero que no lo había pensado.
    Como se trata de un problema que considera diferencias, y al final de la columna (o fila) se toma la diferencia con el primer elemento de esta, todas las permutaciones de columnas o filas generan también soluciones, que usan el mismo grupo de números.
    Para que se entienda:

    si 1 7 25
    21 26 10
    13 4 27
    es solución, también lo son (como las diferencias entre lo números se mantienen)

    7 25 1
    26 10 21
    13 4 27

    25 7 1
    10 26 21
    27 13 4

    1 25 7
    21 10 26
    13 27 4
    de la misma manera también vale permutar de lugar las filas. Y además la transpuesta de la estructura también es solución

    1 21 13
    7 26 4
    25 10 27

    que son variantes de la solución que puse en el comentario previo:

    13 1 21
    27 25 10
    4 7 26


    Por lo tanto cualquier mezcla de transposición y permutación de filas y columnas generan nuevas soluciones para un mismo conjunto de números.

    Entonces hasta las soluciones que encontré son:

    1 7 25
    21 26 10
    13 4 27

    1 9 22
    27 2 16
    24 19 4

    6 25 4
    26 10 9
    14 3 27

    Más todas las variantes que se pueden construir por transposición y permutación de filas y columnas.

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