viernes, 6 de febrero de 2015

1377 - El producto de los dígitos dividido por la suma de los mismos es un entero

Hay números en los que si calculamos el producto de sus dígitos y lo dividimos por la suma de los mismos obtenemos un número entero.

Por ejemplo para el 44, tenemos que 4x4 / 4+4 = 2

Como es costumbre buscamos los menores números que dan como resultado 1,2,3, etc.

 1 . 22  ya que 2x2 / 2+2 = 1
 2 . 36  ya que 3x6 / 3+6 = 2

Por otra parte podemos buscar números de este tipo que generen secuencias  (los menores números que generan otros números a los que les podemos aplicar el mismo procedimiento)

2 . 22 -> 1
3 . 3489 --> 36 ---> 2

Ustedes ya se imaginan lo que busco.


Basado en un problema de D. Khan

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5 comentarios:

  1. Las soluciones menores hasta 100 son:

    1-1
    2-36
    3-66
    4-88
    5-257
    6-268
    7-279
    8-448
    9-369
    10-459
    12-666
    14-578
    15-579
    16-678
    18-1689
    20-2558
    21-789
    24-1899
    25-13557
    27-999
    28-3477
    30-2589
    32-2688
    35-13578
    36-3489
    40-3588
    42-2799
    45-4569
    48-4668
    49-4677
    50-5568
    54-3699
    56-3789
    60-4599
    63-14779
    64-4689
    70-5679
    72-4789
    75-25566
    80-5788
    81-6679
    84-6778
    90-34566
    96-5889
    98-117788
    100-25569

    No se pueden obtener números que tengan divisores primos mayores que 10.

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  2. Mmonchi respondió perfectamente la primera de las propuestas, habría que encontrar respuestas para la segunda parte, secuencias de 4 y mas términos.

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  3. He encontrado las secuencias que empiezan por un número menor de 1 000 000 000 y en teoría se pueden continuar por la izquierda, es decir, su primer término no tiene divisores primos mayores de 10. Solo hay una de cinco: -277766496-98784-448-8-1.

    De 4 hay 18:
    32928 36 2 1
    37632 36 2 1
    3111696 36 2 1
    46875 224 2 1
    3145728 224 2 1
    21337344 224 2 1
    143327232 224 2 1
    38723328 1344 4 1
    3483648 1536 6 1
    261382464 1536 6 1
    864162432 1536 6 1
    24893568 9216 6 1
    297675 735 7 1
    133413966 972 7 1
    98784 448 8 1
    38118276 448 8 1
    26353376 1944 8 1
    877879296 338688 768 16

    De 3 hay 44:
    36 2 1
    63 2 1
    224 2 1
    1225 2 1
    1323 2 1
    4116 2 1
    189 4 1
    1344 4 1
    1161216 4 1
    2352 5 1
    91125 5 1
    1296 6 1
    1536 6 1
    2916 6 1
    6912 6 1
    9216 6 1
    9261 6 1
    375 7 1
    729 7 1
    735 7 1
    972 7 1
    448 8 1
    1944 8 1
    2625 8 1
    11664 8 1
    24192 8 1
    93312 9 1
    35271936 945 10
    67765824 12544 10
    27433728 1568 12
    338688 768 16
    826686 768 16
    2239488 768 16
    3188646 768 16
    6613488 768 16
    14224896 768 16
    77446656 18816 16
    8297856 5376 30
    18984375 5376 30
    286654464 24576 70
    846526464 24576 70
    968486568 331776 98
    833299488 55296 100
    686128968 36864 128

    Y de 2 hay 386:
    2 1
    ...
    688747536 125440

    Se podrían buscar las secuencias hacia la izquierda, pero no garantizaría que fuesen las mínimas.

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  4. 2222222233333333333779--277766496-98784-448-8-1.

    Es fácil prolongar las series anteriores un elemento más: se calculan los divisores primos (los de 277766496 son 222223333333333377), se suman (57) y se busca un número mayor que esa suma que solo tenga divisores primos menores que 10 (elegí el 72). Ahora se calcula la diferencia, 72-57=15. Hay que escribir 72 como un producto cuyos elementos sumen 15 y sean menores que 10: 72=2*2*2*9, 15=2+2+2+9. El número buscado es cualquier concatenación de los divisores obtenidos del primero y el segundo: su producto es el número buscado multiplicado por 72 y su suma es 72.

    Hay soluciones más pequeñas, pero esta es válida. Pero para seguirla prolongando habría que buscar soluciones que solo fueran divisibles entre 2, 3, 5 y 7, y eso es complicado.

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  5. 33333333333356677779-22967817138-37632-36-2-1
    22222222223333336777777777777-484334321737392-3483648-1536-6-1
    22222222222333333333333333333356-793437161472-98784-448-8-1

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