viernes, 31 de mayo de 2013

1148 - Un problema para explicárselo a un niño


En el tablero, las casillas marcadas están pintadas de negro.
Se quiere pintar todas las otras casillas de azul, rojo, verde o negro, cada una de un color, de modo que en cada fila y en cada columna haya una casilla de cada color.
¿De cuantas maneras se puede hacer?

No solo hay que resolverlo, sino que explicarlo como para que lo entienda un niño de 10 años, ya que es un problema de las olimpiadas matematicas argentinas para niños y una amiga mia no sabe como explicarselo para que lo entienda
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3 comentarios:

  1. Bueno... vemos que para hacer las de color negro nos faltan 2 pero no nos importa para nada en esta solucion

    Para cada una de los otros 3 colores, tenemos tres filas en la primera columna.
    Hay dos casos posibles:

    (1col,1fil) y quedan 3 filas disponibles en la segunda columna.. luego 2 filas en la 3º columna.. y luego 1 sola posibilidad para la 4º columna.
    Y los dos casos que se dan cuando el color entra en (1col,2fil) y (1col4fil) pues solo dan 2 posibilidades en el 2º y 2 posibilidades en el 3º.

    En fin, para el 2º color, hay (1*3*2*1)+(2*2*2*1)=6+8=14

    Para los ultimos 2 colores solo nos quedan 2 casillas libres en cada columna.
    Entonces hay 2*1*1*1 para cada color

    En conclusion, hay

    (14*2*1)=28 formas de completar el tablero

    Como la eleccion de los 3 colores restantes es arbitraria, hay en total (28*3*2*1)=168 formas de hacerlo

    ---------------------------------

    A modo de comentario, yo participo en la OMA, y pienso que esto no es para un chico de 10 años.
    es combinatoria, y es algo un poco avanzado teniendo en cuenta las caracteristicas del problema

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    Respuestas
    1. Francisco, solo hay 48 soluciones, muchas de las 168 que dices no son válidas.

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    2. Cierto. Acabo de revisar y lo que hacia era contar varias disposiciones dos veces. y superponer posibilidades

      Supongamos el problema resuelto ^^

      Sean a,b,c,d los colores.. una disposicion seria

      a.b.c.d
      b.c.d.a
      c.d.a.b
      d.a.b.c

      Y notemos que si intercambiamos las filas o columnas (son casos iguales pues el tablero es simetrico) tenemos otra disposicion de un tablero valido
      Hay en total 4! disposiciones :)
      Lo mismo con los colores que dije antes, por tanto hay 4! coloraciones

      Solo tenemos que contar las que tienen esos dos cuadraditos negros.
      1 de cada 4 disposiciones tienen el color negro en la tercer fila y primer columna

      1 de cada 3 disposiciones tienen el color negro en la primer fila y segunda columna

      Dividimos (4!)^2 por 4*3 y nos queda 48 :D

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