martes, 27 de noviembre de 2012

1044 - Dividiendo multiplicando y sumando

Existe una sola forma de dividir los números uno y dos en dos grupos :
1 - 2  el producto es 2 (1x2) y la suma de los productos también , que en este caso es uno solo, también es 2

Los números del 1 al 4 en cambio se pueden dividir de varias maneras en dos grupos.
Algunos ejemplos:

(12) (34) suma de los productos 1x3 + 2x4 = 3 + 8 = 11  
(12) (43) suma de los productos 1x4 + 2x3 = 4 + 6 = 10
(13) (24) suma de los productos  1x2 + 3x4 = 2 +12 = 14
(23) (41) suma de los productos  2x4 + 3x1 = 8 + 3 = 11

Luego de buscar todas las combinaciones posibles, la suma máxima de los productos es 14

Para los números del 1 al 6 la siguiente división en dos grupos da la mayor suma de los productos::
(136) (245) suma de los productos  1x2 + 3x4 + 6x5 = 2 + 12 + 30 = 44


¿Cuál es la mayor suma de los productos de la división en dos grupos de los números del 1 al 8? y del 1 al 10? ¿Alguien puede deducir la fórmula?
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4 comentarios:

  1. Si los números van desde "a" hasta "a+n", con "n" impar y siendo "a"=1, la fórmula es:
    Caso de n=3
    (a,a+2)(a+1,a+3)
    Caso de n=5
    (a,a+2,a+4)(a+1,a+3,a+5)
    Caso de n=7
    (a,a+2,a+4,a+6)(a+1,a+3,a+5,a+7)

    Se deduce que un grupo lo deben formar todos los números impares ordenados de menor a mayor, y el otro grupo todos los números pares ordenados de menor a mayor, para que la suma sea máxima.

    Caso de números de 1 al 6 será máximo:
    (135)(246), que es lo mismo que (136)(245).
    Caso de números de 1 al 8 será máximo:
    (1357)(2468), o sea 100. 44+7x8.
    Caso de números de 1 al 10, y tratando al 10 como si fuera 1 dígito, será máximo:
    (13579)(2468"10"), o sea 190. 100+9x10.
    Una demostración formal es ligeramente más complicada.

    vicente iq.



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    Respuestas
    1. La fórmula general de la suma del producto máximo es:
      1/3 (1 + k) (3 a^2 + k (5 + 4 k) + a (3 + 6 k))

      Ejemplo:
      Donde en este caso, "a" se debe sustituir por 1 y "k" es nº maximo/2 - 1.
      Para buscar la suma para nºs del 1 al 8, "a" se hace 1 y "k" se hace 3. (8/2 - 1).

      Vicente iq.

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  2. La fórmula general para grupos de x números formados por los números de 1 a 2x es (4x^3+3x^2-3x)/3.

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